Continuando o assunto do artigo da semana passada sobre afinação, mas agora com uma visão um pouco mais teórica sobre o assunto. Tenho visto muitos músicos com grande dificuldade para compreender e consequentemente em como fazer para tocar afinado, e esta dificuldade os deixa muito preocupados… mas com muitos flautistas acontece justamente o oposto, por pensar que basta fazer o dedilhado correto, estes nem pensam que a afinação existe ou que devemos nos preocupar com isto, o que é muito grave.

Por esta razão, decidi esclarecer este assunto, que não é difícil, nem complicado. Além de músico, sou engenheiro, e por isso decidi colocar argumentos musicais, visuais e matemáticos, assim todos terão referências sobre como devemos afinar cada nota: pessoas auditivas usam os exemplos sonoros, pessoas visuais terão referências visuais, e pessoas com pensamento abstrato podem usar os conceitos matemáticos apresentados.

Não se preocupe caso você não entenda algum conceito específico, pois o importante é o resultado sonoro ao tocar seu instrumento. Irei aqui proporcionar meios para que você possa aplicar isto no seu estudo do instrumento. Se houver alguma dúvida, basta escrever para mim, pois serei grato em ajudar.

Segue abaixo os conceitos que irei abordar:

• Referência Lá = 440Hz – O que é isso?
• A série harmônica
• Breve histórico – Como afinar a escala?
• Afinação temperada
• Afinação justa
• Tocando em um grupo
• Relação pura x relação temperada
• Devo tocar a sensível mais alta?

Referência Lá = 440Hz – O que é isso?

O som é o resultado de uma vibração que se propaga pelo ar até o nosso ouvido. Toda vibração que se propaga por um meio, chamamos de “onda”. Por isso, um outro nome mais exato para o som é “onda sonora”. O meio pelo qual o som se propaga é o ar, movimentando suas moléculas, por isso o som é considerado uma onda mecânica.

Num instrumento de corda, a corda vibra numa velocidade que é proporcional à tensão da corda e inversamente proporcional ao seu comprimento e diâmetro. Num instrumento de sopro, é o ar que vibra, em velocidade inversamente proporcional ao comprimento do instrumento (quanto maior mais grave, quanto menor mais agudo) e proporcionalmente à velocidade do ar colocado dentro do instrumento (quanto mais velocidade, mais agudo). Esta velocidade de vibração, ou de uma forma mais exata, a quantidade de ciclos (vibrações) por segundo, chamamos de frequência.

Hoje em dia, a maioria dos instrumentos são afinados com a nota Lá calibrada em 440Hz ou 440 ciclos por segundo, também chamamos de diapasão 440Hz. Esta é uma convenção não muito antiga, só se chegou a isso depois da 2.a guerra mundial, por volta dos anos 50. Algumas orquestras afinam os instrumentos em 442Hz, algumas um pouco mais alto como 445Hz, e normalmente, na música barroca, usamos o diapasão 415Hz, exatamente meio tom abaixo da convenção moderna.

Estas não são as únicas convenções possíveis para afinação. Durante a história da música ocidental, existem evidências do diapasão variando desde 380Hz até 502Hz, uma variação maior que uma quarta justa. Mas, para que dois instrumentos diferentes toquem em conjunto, é necessário definir uma convenção, ou um diapasão. Normalmente as flautas doces tem afinação 440 ou 415Hz.

A série harmônica

Cada som produzido mecanicamente, produz o que chamamos de harmônicos. Harmônicos são sons simultâneos, com frequências múltiplas da frequência fundamental. São os harmônicos que definem o timbre dos instrumentos.

Como exemplo, imaginemos um som com frequência de 100Hz. Seus harmônicos terão as frequências de 200, 300, 400, 500, 600, 700Hz e assim por diante. Em um instrumento de corda isto é muito presente e visível, pois podemos dividir a corda em 2, 3, 4, 5 partes iguais, e teremos o som respectivo de cada um dos harmônicos.

Da mesma forma que cada harmônico tem uma frequência, podemos dizer que cada harmônico representa uma nota, e isto tem tudo a ver com o nosso assunto principal: a afinação. Quando ouvimos duas notas afinadas, podemos afirmar que seus harmônicos  coincidem. Intervalos consonantes são intervalos com muitos harmônicos coincidentes, enquanto intervalos dissonantes são intervalos com poucos ou nenhum harmônicos coincidentes.

De todos as notas da série harmônica, utilizaremos os primeiros 8:

1.o – fundamental
2.o – oitava
3.o – quinta justa
4.o – oitava
5.o – terça maior
6.o – quinta justa
7.o – sétima menor, afinada bem baixa
8.o – oitava

Estes intervalos formam a base de toda harmonia tonal, e são perfeitamente reconhecíveis auditivamente ao tocar o instrumento.

Exercício 1: feche todos os furos da flauta, e toque a nota (dó na flauta soprano ou fá na contralto). Ao soprar um pouco mais, ouviremos o segundo harmônico (oitava acima). Ao soprar um pouco mais, ouviremos o 3.o harmônico (sol na soprano, dó na contralto). Um pouco mais e ouviremos o 4.o harmônico. É possível chegar até o 7.o ou 8.o harmônico com um bom instrumento e boa técnica.

Exercício 2: Encontre um amigo que toca algum instrumento de corda (violino, cello, violão, cavaquinho, guitarra, etc), e peça a ele mostrar os harmônicos do instrumento. Caso ele não saiba, peça para encostar o dedo levemente bem no meio da corda, sem pressão, e tocar. Deve soar a nota oitava acima da corda solta. Se dividir a corda em 3 partes, encostando o dedo em uma das divisões, soará a nota 12.a acima (8.a + 5.a). No violino ou cello, é possível ouvir muitos harmônicos dividindo a corda em mais e mais partes iguais.

Muitos violonistas usam os harmônicos para afinar as cordas do instrumento, este é um excelente exercício auditivo e tem tudo a ver com o que vamos discutir daqui em diante.

Breve histórico – Como afinar a escala?

A escala musical tem 7 notas, mas se considerarmos todos os acidentes (sustenidos e bemóis), temos 12 notas. Já sabemos que a nota Lá tem a frequência de 440Hz, e que ela possui harmônicos (lá = 880Hz, mi = 1320Hz, lá = 1760Hz, dó# = 2200Hz, etc) seguindo a série harmônica.

Também podemos aplicar o pensamento inverso, e descobrir as frequências das notas da série harmônica mais graves que o lá, basta dividir 440 por 1, depois por 2, por 3, por 4 e assim por diante, resultando lá = 220Hz, ré = 146,66Hz, lá = 110Hz, fá = 88Hz.

Para quem não acompanhou a matemática envolvida, eu primeiro multipliquei o número 440 por 1, depois por 2 (880), depois por 3 (1320), etc. Em seguida, fiz o mesmo dividindo. Se pensarmos no instrumento de corda, fazemos a multiplicação quando dividimos a corda em partes iguais (quanto menor a corda, mais aguda é a nota). E a divisão da frequência quando “esticamos” a corda (quanto maior a corda, mais grave).

Desde a antiguidade, os músicos, filósofos, físicos e matemáticos já conheciam muito bem estas coisas. Pitágoras, o filósofo grego que viveu no séc. VI A.C., descobriu a base numérica da acústica. Dizem as lendas que enquanto ouvia um ferreiro martelando uma bigorna ele percebeu os intervalos musicais, e que as consonâncias deveriam ser representadas por proporções numéricas simples derivadas do tetractys (1, 2, 3, 4), a sequência de números que derivam todas as coisas do Universo. Em música, 2:1 corresponde à oitava, 3:1 à oitava mais uma quinta, 4:1 representa 2 oitavas, 3:2 a quinta justa e 4:3 uma quarta justa.

Seguindo este princípio, podemos imaginar que, podemos seguir o círculo de quintas e afinar as 12 notas da escala, certo?

Errado… A matemática e nossos ouvidos nos provam que isto não é verdade. Quando seguimos este método, chegamos num problema intrínseco à nossa escala musical:

A figura acima mostra, que se partirmos da nota Dó, sempre em quintas afinadas ou puras, ou seja: Dó, Sol, Ré, Lá, Mi, Si, Fá#, Dó#, Sol#, Ré#, Lá#, Mi# (ou Fá), ao chegar no Si# este não terá a mesma afinação do Dó, ao invés disso, será uma nota muito alta. A esta diferença, chamamos de “coma pitagórico”.

Também poderíamos imaginar em afinar as terças puras, usando a proporção do 5.o harmônico. Partindo da nota Dó, seria assim:

Dó, Mi, Sol#, Si# (ou Dó). Vemos que neste caso, o Si# (ou Dó) seria mais baixo daquilo que esperávamos.

Estes problemas começaram a ser discutidos por teóricos do séc. XIV, quando surgiram os “temperamentos”.

Temperamentos

Os temperamentos foram criados para solucionar os problemas que mencionamos anteriormente, de forma a manter a escala o mais afinada possível, e evitando o uso dos intervalos “ruins” ou desafinados.

Ainda na Idade Média, o temperamento mais comum era o chamado Pitagórico, que se baseia na afinação de quintas puras, partindo da nota Ré, nota considerada o centro da escala. Como o repertório naquela época continha apenas intervalos de quintas e quartas justas e todas as terças eram consideradas dissonâncias, este temperamento era muito apropriado. Neste temperamento, a única quinta desafinada é entre Mib e Láb (ou Sol#), que fica muito curta pela razão que expliquei anteriormente. Por isso, o repertório deste período raramente utiliza estas notas. O batimento produzido quando estas notas são tocadas juntas parece o uivo de um lobo, e por isso, esta é a chamada “quinta do lobo”.

Na Renascença (por volta de 1500 D.C.) os músicos e teóricos procuraram uma maneira melhor de dividir a escala, sempre buscando uma melhor adequação ao repertório da música atual. A polifonia está na moda, e a afinação pitagórica não atende as exigências estéticas, com isso surge o temperamento Mezotônico, favorecendo os intervalos de terças ao invés das quintas. Assim, algumas quintas são “estreitadas” para que as terças maiores sejam puras. Desta forma, é dado o primeiro passo para que a harmonia tonal seja criada, alguns séculos mais tarde. Neste temperamento, a afinação de um Sol# e um Láb são diferentes, e não é possível transpor tons, pois algumas tonalidades serão mais afinadas que outras, e não é possível fazer enarmonizações, isto é, o Dó# é diferente do Réb, e por esta razão, este temperamento é categorizado como linear.

Na figura ao lado, retirada do livro “The modern musick-master” escrito por Peter Prelleur em 1730-1731, onde ele fala sobre “The art of playing on the violin” (a arte de tocar o violino), podemos perceber que as notas D# e Eb logo no início da escala não são iguais, e que o Eb deve ser ligeiramente mais alto do que o D#. Olhando mais atentamente, vemos que todos os sustenidos devem ser mais baixos do que os bemóis correspondentes, algo que seria impossível de realizar em um instrumento de teclados, mas é perfeitamente realizável no violino ou na flauta doce. Este livro pode ser encontrado em formato digital gratuitamente na internet, na biblioteca de partituras de domínio público.

Já no período Barroco (a partir de 1600), a estética musical adota a harmonia tonal como padrão, e por isso a estética demanda uma variedade maior de tons afinados. Muitos teóricos criam possibilidades de temperamentos, baseando-se no mezotônico porém estendendo suas possibilidades: Vallotti, Kirnberger, Werckmeister, Young são exemplos destes temperamentos. Todos estes temperamentos favorecem alguns tons mais usados (com até 3 sustenidos ou 3 bemóis na clave) que soariam mais afinados, mas desfavorecendo as tonalidades com mais acidentes que soariam mais desafinados; isto faz parte da estética do período barroco, já que os compositores usariam disso para criar afetos diferentes em cada composição. Alguns temperamentos deste período já podem ser categorizados como temperamento circular, pois possibilitam tocar em todos os tons da escala de 12 notas, mas cada tom tem uma colocação ou resultado diferente.

Bach compõe O Cravo Bem Temperado, que deveria usar um temperamento que possibilitasse transpor as melodias para todos os tons da escala, mas isto não quer dizer que todas as escalas soassem iguais, cada uma teria um afeto diferente.

A partir de 1730, a estética começa a exigir temperamentos mais “iguais”, por causa da grande necessidade de modulações (uma música que começa em Dó Maior, e modula para Sol Maior ou Lá Menor, por exemplo). Esta necessidade cresce até o Romantismo (meados de 1800 em diante), quando a harmonia tonal chega ao seu limite e os compositores fazem uso de modulações muito distantes (Lá maior para Dó menor, por exemplo), o que seria impossível em um temperamento mezotônico.

Embora o temperamento igual ainda não fosse utilizado neste período de forma massiva, já era usada uma afinação muito parecida com a que usamos atualmente.

Afinação temperada

Este é o temperamento exibido em qualquer afinador eletrônico moderno, e utilizado amplamente na música clássica e popular nos dias de hoje. Apenas com o surgimento dos instrumentos musicais e afinadores eletrônicos, foi possível realizar, em termos práticos e difundido a todos os músicos, o que chamamos de afinação temperada, ou afinação igual, temperamento igual, ou ainda escala igualmente desafinada. Desde a antiguidade, os músicos teóricos já conheciam a afinação temperada – Vicenzo Galilei (ca. 1520 – 1591), pai de Galileu Galilei, defendia o temperamento igual – mas não possuíam meios práticos para afinarem todos os instrumentos por este método, além do que este temperamento não era considerado adequado, pois ao invés de favorecer as escalas mais usadas e desfavorecer as menos utilizadas, o temperamento igual desafina igualmente todos os intervalos para que a música possa ser transposta para todos os tons. Por esta razão, embora já fosse conhecido pelos teóricos, os músicos simplesmente ignoraram este temperamento por vários séculos.

Para padronizar a escala igualmente, a oitava é dividida em 12 partes iguais, matematicamente, e para isso não são usadas proporções puras, ao invés disso é usado um número racional:

Ao lado, está a proporção de cada semitom no temperamento igual, e como devemos calcular cada uma das notas.

O temperamento igual possui as quintas justas muito parecidas com as quintas puras do temperamento pitagórico, apenas 2 cents mais estreitas do que as quintas puras, isto é, o problema da “quinta do lobo” é dividido igualmente por toda a escala. Porém, as terças, tanto maiores quanto menores, são muito diferentes das terças puras (ver tabela no final deste artigo), e alguns teóricos costumam dizer que as terças são mais “brilhantes” desta forma, quando também podemos dizer que são apenas mais desafinadas.

Como exemplo, mostro ao lado como calculamos a frequência do Dó Central, a partir da nota Lá = 440Hz, por diferentes métodos. O primeiro usando o temperamento igual, e depois pela afinação justa (explicado em seguida). Podemos perceber que existe uma diferença considerável no resultado, cerca de 3,5Hz, bem significativo para nosso ouvido. Também percebemos que a matemática envolvida no temperamento igual é bem mais complexa do que a afinação justa.

No link abaixo, é possível fazer o download de uma demonstração que exemplifica a diferença entre a afinação pitagórica, mezotônica e igual:

Pythagorean, Meantone, and Equal Temperament Musical Scales

Afinação justa

Aqui chegamos ao ponto crucial deste artigo: a afinação justa. Até agora falamos de modelos de afinação fixos, isto é, são utilizados nos instrumentos que têm a afinação das notas fixas durante a performance (como o piano e o violão, por exemplo), mas nos instrumentos que possibilitam afinar as notas enquanto tocamos, como a flauta doce – o violino, e quase todos os instrumentos de sopros e cordas – procuramos tocar com a afinação justa para evitar os problemas mencionados anteriormente, como a quinta do lobo.

A afinação justa já era grande conhecida dos músicos e teóricos de todos os tempos, tanto na música ocidental como na música oriental. Embora seja procurado por muitos músicos, é impraticável nos instrumentos de afinação fixa (violão e piano, por exemplo) pois demanda uma certa flexibilidade do músico. Neste modelo, todas as notas são afinadas pelas proporções da série harmônica.

Acima podemos assistir um vídeo (em inglês) que mostra claramente as diferenças entre a afinação justa (justonic tuning) e a afinação temperada (tempered tuning). Prestem atenção no áudio, na diferença entre os intervalos. Na afinação justa não existem batimentos, ou seja, não existem oscilações quando tocamos dois ou mais sons simultâneos. Já na afinação temperada, os batimentos são sempre presentes, como se existisse uma espécie de vibrato mesmo quando não há vibrato de fato.

De todos os modelos que apresentei, este é o que é mais fácil de realizar auditivamente, pois sempre procuramos a inexistência de batimentos. Além disso, este modelo não é fixo, isto é, uma nota sol não é afinada sempre da mesma forma, pois a afinação varia com as notas da harmonia, ou seja, as notas que são tocadas simultaneamente. Cada nota do acorde deve ser afinada de acordo com a tabela do final deste artigo (comparando ao temperamento igual, as quintas são ligeiramente mais altas, terças maiores mais baixas e terças menores mais altas).

Tocando em um grupo

Quando tocamos em um grupo, devemos definir o que queremos em termos de afinação, e assim devemos sempre buscar este objetivo, mas sempre consciente de qual é o objetivo. Além disso, temos alguns critérios que podemos usar para definir qual modelo mais adequado:

– qualquer formação que contenha piano, violão ou outro instrumento moderno de afinação fixa – temperamento igual;

– qualquer formação que contenha instrumentos antigos de afinação fixa, como cravo, alaúde ou teorba – algum temperamento antigo (Mezotonico, Valoti, ou outro), condizente com o repertório escolhido;

– grupos com instrumentos de afinação não temperada, todos os grupos de flautas doces, grupos de cordas – afinação justa;

Relação pura x relação temperada

Coloco abaixo uma lista com a relação de todos os intervalos, mostrando a diferença entre a afinação justa e a temperada. Esta referência é relativa, por isso, embora os exemplos quase sempre partam da nota Dó, também podem ser usados partindo de todas as notas.

A primeira coluna dá nome aos intervalos, e alguns destes intervalos podem ter mais de uma maneira de afinar, aqui menciono apenas algumas delas (provavelmente você pode encontrar outras proporções possíveis e próximas para o mesmo intervalo). Eu escolhi as proporções mais simples possíveis para cada intervalo.

A segunda coluna exemplifica o intervalo dado. Agora podemos ver claramente que intervalos enarmônicos (Dó# e Réb, por exemplo) não devem ser afinados da mesma maneira.

A terceira coluna mostra a proporção usada para calcular a distância entre as notas na afinação justa. Esta proporção pode ser a relação das frequências das notas, ou a relação entre o tamanho da corda, ou a relação da coluna de ar, tanto faz a medida, mas a proporção é que define o intervalo.

A quarta coluna mostra o tamanho do intervalo puro em cents, isto é, a medida que é largamente utilizada nos afinadores eletrônicos.

A quinta coluna mostra o tamanho do intervalo na afinação igual ou temperada. Percebemos que cada semitom equivale a 100 cents, e a escala completa equivale a 1200 cents. A diferença entre a quinta e a quarta coluna resulta o quanto devemos ajustar o intervalo para termos a nota perfeitamente afinada, ou seja, sem batimentos.

Assim, podemos afirmar que para afinar:

• terça menor, devemos aumentar o intervalo em 15,6 cents;
• terça maior, devemos reduzir o intervalo em 13,7 cents;
• quinta justa, devemos aumentar o intervalo em 1,96 cents;
• sétima menor, deveríamos reduzir o intervalo em 31 cents. Mas como a sétima normalmente é uma dissonância, e esta relação é muito distante para mudar durante a performance, podemos usar a proporção 16:9 reduzindo em apenas 3,9 cents;

Estes são os intervalos mais comuns de encontrar na harmonia tonal. Todos os outros estão na tabela do final do artigo.

Devo tocar a sensível mais alta?

Provavelmente você já ouviu falar sobre tocar a sensível (sétima) ligeiramente mais alta, de forma que ela “caminha” para a tônica (fundamental) da escala. Isso nos leva a pensar que deveríamos fazer os sustenidos mais altos do que os bemóis, exatamente o oposto do que eu sugiro em todo o artigo.

Este pensamento era defendido por um grande cellista chamado Pablo Casals do início do séc. XX, e se baseia num princípio melódico, que antecipa a resolução da nota mostrando a direção que ela deve tomar. Além disso, no temperamento pitagórico, os sustenidos são mais altos que os bemóis correspondentes, fazendo que a sensível seja mais alta, e muitos instrumentistas dos instrumentos de cordas (violino, viola, cello, etc) usam uma variação do temperamento pitagórico. Porém, nenhum desses princípios é compatível com a afinação justa, tema central deste artigo.

Este assunto é muito extenso, e mesmo sendo algo exato e matemático, vimos que temos muitas possibilidades criativas a respeito da afinação, muitas escolhas a fazer e cada escolha tem seus prós e contras. Como a afinação está diretamente relacionada com a técnica do instrumento, não podemos deixá-la de lado, mas sim, devemos buscá-la desde nossos primeiros passos ao aprender música e tocar um instrumento.

Para aqueles que querem saber mais, recomendo os livros a seguir:

• How equal temperament ruined harmony (and why you should care)
  Ross W. Duffin
  ISBN 978-0-393-33420-3
• Tuning and temperament – a historical survey
  J. Murray Barbour
  ISBN 0-486-43406-0

Intervalo	Exemplo	Proporção	Afinação Justa	Afinação Temperada
Semitom Cromático	C-C#	25:24	70,7	100
Semitom Sintônico	C-C#	135:128	92,2	100
Semitom Diatônico	C-Db	16:15	111,7	100
2.a Maior (baixa)	C-D	10:9	182,4	200
2.a Maior (alta)	C-D	9:8	203,9	200
3.a Diminuta	C#-Eb	256:225	223,5	200
2.a Aumentada	C-D#	75:64	274,6	300
3.a Menor	C-Eb	6:5	315,6	300
3.a Maior	C-E	5:4	386,3	400
4.a Diminuta	C-Fb	32:25	427,4	400
3.a Aumentada	C-E#	125:96	478,5	500
4.a Justa	C-F	4:3	498,04	500
4.a Aumentada	C-F#	45:32	590,2	600
5.a Diminuta	C-Gb	64:45	609,8	600
5.a Justa	C-G	3:2	701,96	700
5.a Aumentada (baixa)	C-G#	25:16	772,6	800
5.a Aumentada (alta)	C-G#	405:256	794,1	800
6.a Menor	C-Ab	8:5	813,7	800
6.a Maior	C-A	5:3	884,4	900
7.a Menor (justa)	G-F	7:4	968,8	1000
6.a Aumentada	C-A#	225:128	976,5	1000
7.a Menor (baixa)	C-Bb	16:9	996,1	1000
7.a Menor (alta)	C-Bb	9:5	1017,6	1000
7.a Maior (sensível)	C-B	15:8	1088,3	1100
8.a Diminuta	C-Cb	256:135	1107,8	1100
7.a Aumentada (baixa)	C-B#	125:64	1158,9	1200
7.a Aumentada (alta)	C-B#	2025:1024	1180,4	1200
8.a Justa	C-C	2:1	1200	1200

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Artigo ● Inglês